第46章 横推二试，惊呆刘兴明(2/2)

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    其他模块是 “用工具解题”，组合是“造工具解题”！



    这道题没有公式，没有统一的知识框架。



    它可能用到抽屉原理，可能用到图论，再可能用到算两次，甚至可能根本用不上任何定理......



    就算林决学了再多技巧，可能在组合这道题上也没有一个能用的！



    而在看完这道题的题干后。



    林决再没有立马动笔。



    而是罕见的开始思索起来......



    他甚至能在脑子里预演了一遍这道题的过程。



    先分三类集合，每类内部用抽屉，再算跨类交集，最后排除 8 种极端反例。



    逻辑上肯定是走得通的，林决似乎轻易的抓住了脑海中的那个光点。



    但他笔尖纸上写下第一步后，就没再写下去。



    如果是这样的解法，似乎太丑陋了。



    不是难，是臃肿。



    就像用 100 根细铁丝拧成一根粗绳，能捆住东西，但毫无美感。



    只要漏了任何一个情形，整道题就直接垮掉。



    于是，他划掉刚才写下的 “分类 1：n≡0 mOd 3”。



    刘兴明见到这一幕，心中也忍不住跟着紧张起来。



    这是他第一次看到林决卷面有修改的痕迹，是终于把他难住了吗！？



    不过他不知道的是，林决其实已经在脑子里把这道题最繁琐的解法过了一遍！



    紧接着，他闭上了眼睛，脑海中的世界好像成了一个由无数字符组成的海洋。



    林决踏足于这片海洋之中。



    无数的定理，无数的知识碎片从他身边流淌，他也把【求知】的状态拉到了极限。



    隐约中，林决好像看到无数字符组成一条带着刺目光芒的道路出现在眼前。



    下一刻。



    林决猛然睁眼。



    “把每个元素都看作有限域 F?上的一个三维向量呢？”



    “把题干里“任意三个元素的和不为 0”这个约束，翻译成向量语言，不就是不存在三个两两正交的向量吗？”



    这个念头冒出来后，林决的笑容就止不住了。



    如此想着，林决终于动笔重新写下。



    第一行，他写下了一个全场考生都看不懂的开头：



    “引理：设 V 是有限域 F?上的三维向量空间，则 V 中最多存在 4 个向量，使得其中任意三个向量都不两两正交。”



    “证明：……”



    没有分类，没有抽屉，没有繁琐的情形讨论。



    他只是定义了一个向量空间，把原问题中的每个元素对应到一个向量，然后用正交性的基本性质，推导出了向量个数的上界。



    整个证明过程只有 5 行，用到的全是线性代数最基础的定义，没有任何高深的定理。



    但就是这 5 行，把原本需要 3 页纸的分类讨论，压缩成了一个干净利落的结论。



    接着是构造。



    林决写出了 4 个向量。



    并且验证了它们满足正交性条件，然后对应回原问题的元素，构造出了达到上界的例子。



    这一步同样非常简洁，林决只用了三行。



    “最后，是结论了......”



    当写下最后一步后，林决放下笔，又看了一遍整个过程，心中不由得成就感满满。



    这种顶尖竞赛生需要用1个小时才能做完的题，他只用了三分钟就做完了！



    甚至林决还觉得，自己的思路之刁钻，甚至有可能还没有人用他刚才的方法去解过这道题.....



    念及于此，林决转头看了看已经完全傻眼的刘兴明，笑道，



    “老师，我做完了！”